Sistemes d’equacions i mètode de reducció

Avui, dia 30 de gener, al principi de la classe, la Cecilia ens va repartir un full amb un conjunt de problemes gràfics (amb dibuixos) que podíem solucionar per sistemes d’equacions o per altres formes. Vam dedicar tota la classe a resoldre els problemes i van sorgir bastants dubtes.  Aquí en tenim un exemple:

RESOLUCIÓ DEL PROBLEMA:
Anomenem c al preu d’un croissant i b al preu d’un café

• 2c+1b=2,80
  3c+2b=4,80
  Sense utilitzar cap mètode concret de resolució de sistemes podem deduir que  c+b=2, ja que en la primera equació costa 2 menys que la primera.
  Mirant la primera part de la imatge si un crosissant i un café costen 2€ és dedueix que l’altre crosissant costa 80 cèntims, o sigui, c=0,80. I com que c+b=2, es dedueix que b=1,20, o sigui, que el preu d’un café és 1,20€

RESOLUCIÓ DEL PROBLEMA PEL MÈTODE DE REDUCCIÓ:

Aquí el que fem és buscar un nombre diferent que en cada equació puguem multiplicar-lo per després poder sumar les dues equacions entre elles i eliminar incògnites:

• 2c + 1b = 2,80     multiplicada per -2 queda     -4c – 2b = -5,60
  3c + 2b = 4,80     multiplicada per 1 queda       3c + 2b = 4,80
  Sumant les dues noves equacions ens dóna:            -c = -0,80    o sigui    c = 0,80
  Com que 2c + b =2,80 es dedueix que b = 1,20
  

Així podem resoldre un sistema d’equacions pel mètode de reducció.

Equacions irracionals

El divendres vàrem practicar les equacions irracionals (és a dir, equacions amb radicals). Primer de tot vam fer una equació senzilla que la vam resoldre per “cover up”.

 

Després ens van plantejar dues altres equacions, aquestes resoltes elevant els dos membres de l’equació a un mateix exponent i recordant que sempre hem de fer la verificació de les solucions així obtingudes.

Primer exemple:

Segon exemple:

I per últim ens van plantejar la ultima equació que vàrem veure que es podia resoldre per dos mètodes, el mètode normal (simplificant l’operació radical) i el mètode x=t².

Primer mètode

Segon mètode

Resum realitzat per la Laura B.

Repàs full mensual

Avui dijous 26 només hem fet el repàs de dos exercicis del full mensual, l’exercici número 4 i l’exercici número 5. També hem fet un exercici addicional semblant al número 5.

L’exercici número 4 presenta el següent enunciat: “En una pizzería se puede elegir una pizza básica con dos ingredientes: queso y tomate. También puedes diseñar tu propia pizza con ingredientes adicionales. Se pueden seleccionar entre seis ingredientes adicionales diferentes (aceitunas, jamón, etc.) Jaime quiere encargar una pizza con dos ingredientes adicionales diferentes y Laura quiere encargar la suya con cuatro ingredientes adicionales diferentes.
a) ¿Cuántas combinaciones diferentes podría seleccionar Jaime?
b) Explica por qué no es casual que Laura tenga el mismo número de combinaciones diferentes entre las que seleccionar que Jaime.”

Hem revisat el problema i hem proposat varies maneres de resoldre la part a:

• Llistant totes les possibilitats de triar dos ingredients i comptant-les després

• Imaginant que cada cop que es trien dos ingredients es dibuixa un segment que després ha de ser comptabilitzat.

Per resoldre la part b podem llistar també totes les possibilitats que tenim de triar 4, però encara que arribem al mateix resultat (15) no ens explica perquè coincideixen els dos resultats… Millor és raonar que cada vegada que trio dos ingredients per posar a la pizza estic triant 4 ingredients per no posar-li i per tant, la quantitat de maneres que tenim de combinar dos ingredients ha de coincidir amb la quantitat de maneres que tenim de combinar-ne quatre.

En general, hem vist que això passarà sempre en que els ingredients que tria una persona amb la quantitat d’ingredients que tria l’altra coincideix amb el total d’ingredients disponibles. En llenguatge matemàtic, això es representa així:

Problema 5. En aquest problema havíem de calcular la distància que recorria una estació espacial al voltant de la Terra i el que tenia d’interessant és que en realitat no calia calcular el radi de la terra per obtenir la resposta.

Presenta el següent anunciat: “La estación espacial Mir permaneció en órbita 15 años y durante este tiempo dio alrededor de 86.500 vueltas a la Tierra a una altura aproximada de 400 kilómetros. Recordando que la longitud del Ecuador es aproximadamente 40 000 km, calcula aproximadamente la distancia total recorrida por la Mir mientras estuvo en órbita”. Després hem fet un problema addicional relacionat amb el anterior. L’anunciat deia: “Si ponemos una cuerda alrededor del ecuador, y a esa cuerda le agrego un metro de longitud, ¿cúanto se levantaría la cuerda del suelo?” Vam veure que la diferència no era tan petita com esperàvem. La majoria de la classe va dir que la diferència tindria uns pocs mil·límetres, i resulta que en tenia 0,16m al final.

Equacions racionals i irracionals

Avui dimecres 25 a classe hem ampliat el tema que vàrem introduir la classe passada, les equacions racionals. També hem començat amb les equacions irracionals:

Hem practicat amb dues equacions racionals, les hem resolt i les hem corregit tots junts:

Hem après que quan en una equació racional, la incògnita està com a denominador, i una de les solucions en substituir-la als denominadors dóna “0”, aquesta solució s’ha de descartar ja que una fracció no pot  tenir com ha denominador un zero.

Desprès hem practicat amb dues equacions irracionals. Les equacions irracionals son aquelles que tenen la incògnita dins d’una arrel. Sempre les hem de verificar:

Ja que pot ser com en la equació següent, que una de les solucions sigui errònia:

Equacions Racionals

A la classe del dilluns vam aprendre a resoldre equacions racionals. Les equacions racionals són aquelles en que la “x” està com a denominador.

Aqui tenim un exemple:

En aquesta equació hi ha de denominadors: 6x i x+1. El que hem de fer per resoldre l’equació es multiplicar cada factor per 6x(x+1), d’aquesta manera ens quedarà una equació de segon grau fàcil de resoldre.

Problemes i equacions

A la classe d’avui hem treballat amb un llistat de problemes de context numèric i geomètric per als quals les equacions ofereixen una eficient eina de resolució. A la imatge hi ha un exemple del tipus de problema plantejats

 

Control d’equacions (bis)

Si voleu repassar les solucions de les equacions proposades us proposem utilitzar aquest widget:

Us recomanem que poseu l’equació en  la primera cel·la i res en la segona, com al següent exemple (correspon a l’equació h del control). Observeu que també es poden visualitzar els passos d’una resolució

Control d’equacions

Avui hem fet un control de resolució d’equacions. Ens ha cridat l’atenció la dificultat que ha generat l’apartat f.

Aquí presentem un recull de les errades detectades en les proves lliurades

Per últim presentem un exemple d’una resolució correcte de l’equació, encara que val a dir que en resultar una equació incompleta era molt més fàcil arribar a les solucions sense fer servir la fórmula general.

Preparació d’una prova d’equacions

Demà farem una prova sobre el tema treballat en les últimes classes per la qual cosa hem dedicat la classe d’avui a repassar el treballat a partir d’una fitxa amb uns quants exercicis.

En el següent vídeo hi ha un exemple d’aquests exercicis:
http://www.educreations.com/lesson/embed/373983/

Equacions de tercer i quart grau

En la classe anterior ja havíem contactat amb la resolució d’un tipus particular d’equacions de 4t grau: les biquadrades. Avui hem recordat com resolíem altres equacions de 3r i 4t grau: aquelles per a les quals coneixíem una o dues de les seves solucions.

Aquest repàs l’hem contextualitzat en la cerca d’alguna relació entre els coeficients de l’equació i les seves solucions semblant a la que havíem trobat per a equacions de segon grau: hem arribat a conjecturar que en el cas de les equacions de 4t grau que tenen totes les seves solucions reals es compleix que el producte  de totes les solucions coincideix amb el quocient entre el terme independent i el coeficient del terme de major grau.